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平均值與有效值證明

本篇原本從舊站搬過來時,因為內容比較偏門有考慮要刪掉。
但是後來想了想,作為私人筆記留下來了。

交流電表示式

在開始之前要先知道這個,
技職學校的話,大概是基本電學下半章的最後。

正弦波的情況:

$v(t) = V_{m}sin(ωt+θ)$

其中 $V_{m}$ 為峰值(最大值)也就是 $V_{peak}$ 的意思,
除此之外,在 $sin$ 函數內的 $ω$ 是角頻率($ω = \frac{2π}{T}$)。
最後 $θ$ 是相位差。

平均值

先來看比較簡易的平均值,平均值簡單的說就是取平均。
雖然聽起來像是廢話,畢竟正弦曲線誰沒看過?積分取個平均不就寫個 $0$ 而已嗎?
別忘了,正弦波在整流之後,它只剩下半波、或是全波。
也就是說,我們考慮的平均值,只要考量半波整流、或全波整流之後的就好。

半波整流

對於半波整流,由於截去 $sin$ 函數的負半周。
我們直接算它正半周(函數週期的一半)有多少面積、再除以它的週期 $T$ 就好。

$(\int_{0}^{\frac{T}{2}} v(t) \mathrm{d}t) / T$

正弦波全部的週期 $T = 2π$

$V_{av} = (\int_{0}^{π} V_{m}sin(ωt+θ) \mathrm{d}t) / 2π$

角頻率 $ω = \frac{2π}{T} = \frac{2π}{2π} = 1$、相位差 $θ = 0$

$V_{av} = (\int_{0}^{π} V_{m}sin(t) \mathrm{d}t) / 2π$

積分中常數 $V_{m}$ 提到外面

$V_{av} = (V_{m} \int_{0}^{π} sin(t) \mathrm{d}t) / 2π$

對 $sin(t)$ 取反導數,準備結束這個積分

$V_{av} = (V_{m} (-cos(t))\mid_{0}^{π}) / 2π$

$V_{av} = (V_{m} (-cos(π) + cos(0))) / 2π$

$V_{av} = (V_{m} (-(-1) + 1)) / 2π$

$V_{av} = (V_{m} (1 + 1)) / 2π$

$V_{av} = 2V_{m} / 2π$

$V_{av} = V_{m} / π$

得證半波整流的正弦波平均值為 $V_{m} / π$

全波整流

全波整流跟半波整流很像,基本上換湯不換藥。
直接算它正半周(函數週期的一半)有多少面積,並予以雙倍(負半週被轉正),
再除以它的週期 $T$ 就好。

$2(\int_{0}^{\frac{T}{2}} v(t) \mathrm{d}t) / T$

正弦波全部的週期 $T = 2π$

$V_{av} = 2(\int_{0}^{π} V_{m}sin(ωt+θ) \mathrm{d}t) / 2π$

角頻率 $ω = \frac{2π}{T} = \frac{2π}{2π} = 1$、相位差 $θ = 0$

$V_{av} = 2(\int_{0}^{π} V_{m}sin(t) \mathrm{d}t) / 2π$

常數 $V_{m}$ 提到外面,順便把 $2$ 常數約掉

$V_{av} = (V_{m} \int_{0}^{π} sin(t) \mathrm{d}t) / π$

$V_{av} = (V_{m} (-cos(t))\mid_{0}^{π}) / π$

$V_{av} = (V_{m} (-cos(π) + cos(0))) / π$

$V_{av} = (V_{m} (-(-1) + 1)) / π$

$V_{av} = (V_{m} (1 + 1)) / π$

$V_{av} = 2V_{m} / π$

$V_{av} = 2V_{m} / π$

得證全波整流的正弦波平均值為 $2V_{m} / π$

有效值

有效值比較機車,不過也沒啥困難的,
唯一要注意的是,它會用到三角函數的半角公式。
有效值又名「均方根」值,顧名思義:先開方平均、再取根號。

對於連續函數 $f(x)$ 在區間 $[a, b]$ 來說:

$ f(x) = \sqrt{\frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f(x)^2 \mathrm{d}x} $

寫成我們交流電的形式(區間在 $[0, 2π]$):
$ V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{2π}\int_{0}^{2π} v(t)^2 \mathrm{d}t} $

我們來考慮半波、跟全波整流後的情況。

半波整流

半波整流中,負半週整個被刪去。
所以說,我們積分的區間要改成 $[0, π]$ 才正確。

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{2π}\int_{0}^{π} v(t)^2 \mathrm{d}t} $

把 $v(t)$ 代換掉,另外角頻率 $ω = \frac{2π}{T} = \frac{2π}{2π} = 1$、相位差 $θ = 0$。

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{2π}\int_{0}^{π} (V_{m}sin(ωt+θ))^2 \mathrm{d}t} $

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{2π}\int_{0}^{π} (V_{m}sin(t))^2 \mathrm{d}t} $

把積分那邊的平方移進去,常數 $V_{m}^{2}$ 移出積分。

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{2π}\int_{0}^{π} sin(t)^2 \mathrm{d}t} $

接下來很關鍵,半角公式登場 $sin^{2}(x) = \frac{1}{2}(1 - cos(2x))$

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{2π}\int_{0}^{π} \frac{1}{2}(1 - cos(2x)) \mathrm{d}t} $

常數通通丟出去。

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{4π}\int_{0}^{π} 1 - cos(2x) \mathrm{d}t} $

取 $1 - cos(2x)$ 的反導數準備結束積分。

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{4π} (x - \frac{1}{2}sin(2x))\mid_{0}^{π}} $

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{4π} (π - \frac{1}{2}sin(2π)) - (0 - \frac{1}{2}sin(0))} $

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{4π} (π - \frac{1}{2}sin(2π)) - (0 - 0)} $

當中 $sin(2π) = 0$ 直接拿掉

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{4π} (π - 0)}$

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{(V_{m}^2)(π)}{4π}}$

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{(V_{m}^2)}{4}}$

$ V_{rms} = \frac{\sqrt{V_{m}^2}}{\sqrt{4}}$

$ V_{rms} = \frac{V_{m}}{2} $

半波整流的有效值,是最大值(峰值)的一半。

全波整流

在積分那邊,取個雙倍而已。

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{2π} 2\int_{0}^{π} v(t)^2 \mathrm{d}t} $

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{π}\int_{0}^{π} (V_{m}sin(ωt+θ))^2 \mathrm{d}t} $

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{π}\int_{0}^{π} (V_{m}sin(t))^2 \mathrm{d}t} $

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{π}\int_{0}^{π} sin(t)^2 \mathrm{d}t} $

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{π}\int_{0}^{π} \frac{1}{2}(1 - cos(2x)) \mathrm{d}t} $

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{2π}\int_{0}^{π} 1 - cos(2x) \mathrm{d}t} $

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{2π} (x - \frac{1}{2}sin(2x))\mid_{0}^{π}} $

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{2π} (π - \frac{1}{2}sin(2π)) - (0 - \frac{1}{2}sin(0))} $

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{2π} (π - \frac{1}{2}sin(2π)) - (0 - 0)} $

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{2π} (π - 0)} $

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{(V_{m}^2)(π)}{2π}} $

$ V_{rms} = \sqrt{\frac{(V_{m}^2)}{2}} $

$ V_{rms} = \frac{\sqrt{V_{m}^2}}{\sqrt{2}} $

$ V_{rms} = \frac{V_{m}}{\sqrt{2}} $