本篇原本從舊站搬過來時，因為內容比較偏門有考慮要刪掉。
但是後來想了想，作為私人筆記留下來了。
交流電表示式
在開始之前要先知道這個，
技職學校的話，大概是基本電學下半章的最後。
正弦波的情況：
$$
v(t) = V_{m}sin(\omega \cdot t+\theta)
$$
其中 $V_{m}$ 為峰值（最大值）也就是 $V_{peak}$ 的意思，
除此之外，在 $sin$ 函數內的 $\omega$ 是角頻率（$\omega = \frac{2\pi}{T}$）。
最後 $\theta$ 是相位差。
平均值
先來看比較簡易的平均值，平均值簡單的說就是取平均。
雖然聽起來像是廢話，畢竟正弦曲線誰沒看過？積分取個平均不就寫個 $0$ 而已嗎？
別忘了，正弦波在整流之後，它只剩下半波、或是全波。
也就是說，我們考慮的平均值，只要考量半波整流、或全波整流之後的就好。
半波整流
對於半波整流，由於截去 $sin$ 函數的負半周。
我們直接算它正半周（函數週期的一半）有多少面積、再除以它的週期 $T$ 就好。
$$
(\int_{0}^{\frac{T}{2}} v(t) \mathrm{d}t) / T
$$
正弦波全部的週期 $T = 2\pi$
$$
V_{av} = (\int_{0}^{\pi} V_{m}sin(\omega \cdot t+\theta) \mathrm{d}t) / 2\pi
$$
角頻率 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$、相位差 $\theta = 0$
$$
V_{av} = (\int_{0}^{\pi} V_{m}sin(t) \mathrm{d}t) / 2\pi
$$
積分中常數 $V_{m}$ 提到外面
$$
V_{av} = (V_{m} \int_{0}^{\pi} sin(t) \mathrm{d}t) / 2\pi
$$
對 $sin(t)$ 取反導數，準備結束這個積分
$$
\begin{align}
& V_{av} = (V_{m} (-cos(t))\mid_{0}^{\pi}) / 2\pi \nonumber \\
& V_{av} = (V_{m} (-cos(\pi) + cos(0))) / 2\pi \nonumber\\
& V_{av} = (V_{m} (-(-1) + 1)) / 2\pi \nonumber\\
& V_{av} = (V_{m} (1 + 1)) / 2\pi \nonumber\\
& V_{av} = 2V_{m} / 2\pi \nonumber\\
& V_{av} = V_{m} / \pi \nonumber\\
\end{align}
$$
得證半波整流的正弦波平均值為 $V_{m} / \pi$
全波整流
全波整流跟半波整流很像，基本上換湯不換藥。
直接算它正半周（函數週期的一半）有多少面積，並予以雙倍（負半週被轉正），
再除以它的週期 $T$ 就好。
$$
2(\int_{0}^{\frac{T}{2}} v(t) \mathrm{d}t) / T
$$
正弦波全部的週期 $T = 2\pi$
$$
V_{av} = 2(\int_{0}^{\pi} V_{m}sin(\omega \cdot t+\theta) \mathrm{d}t) / 2\pi
$$
角頻率 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$、相位差 $\theta = 0$
$$
V_{av} = 2(\int_{0}^{\pi} V_{m}sin(t) \mathrm{d}t) / 2\pi
$$
常數 $V_{m}$ 提到外面，順便把 $2$ 常數約掉
$$
\begin{align}
& V_{av} = (V_{m} \int_{0}^{\pi} sin(t) \mathrm{d}t) / \pi \nonumber \\
& V_{av} = (V_{m} (-cos(t))\mid_{0}^{\pi}) / \pi \nonumber \\
& V_{av} = (V_{m} (-cos(\pi) + cos(0))) / \pi \nonumber \\
& V_{av} = (V_{m} (-(-1) + 1)) / \pi \nonumber \\
& V_{av} = (V_{m} (1 + 1)) / \pi \nonumber \\
& V_{av} = 2V_{m} / \pi \nonumber \\
& V_{av} = 2V_{m} / \pi \nonumber \\
\end{align}
$$
得證全波整流的正弦波平均值為 $2V_{m} / \pi$
有效值
有效值比較機車，不過也沒啥困難的，
唯一要注意的是，它會用到三角函數的半角公式。
有效值又名「均方根」值，顧名思義：先開方平均、再取根號。
對於連續函數 $f(x)$ 在區間 $[a, b]$ 來說：
$$
f(x) = \sqrt{\frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f(x)^2 \mathrm{d}x}
$$
寫成我們交流電的形式（區間在 $[0, 2\pi]$）：
$$
V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} v(t)^2 \mathrm{d}t}
$$
我們來考慮半波、跟全波整流後的情況。
半波整流
半波整流中，負半週整個被刪去。
所以說，我們積分的區間要改成 $[0, \pi]$ 才正確。
$$
V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} v(t)^2 \mathrm{d}t}
$$
把 $v(t)$ 代換掉，另外角頻率 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$、相位差 $\theta = 0$。
$$
\begin{align}
& V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} (V_{m}sin(\omega \cdot t+\theta))^2 \mathrm{d}t} \nonumber \\
& V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} (V_{m}sin(t))^2 \mathrm{d}t} \nonumber \\
\end{align}
$$
把積分那邊的平方移進去，常數 $V_{m}^{2}$ 移出積分。
$$
V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{2\pi}\int_{0}^{\pi} sin(t)^2 \mathrm{d}t}
$$
接下來很關鍵，半角公式登場 $sin^{2}(x) = \frac{1}{2}(1 - cos(2x))$
$$
V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}(1 - cos(2x)) \mathrm{d}t}
$$
常數通通丟出去。
$$
V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{4\pi}\int_{0}^{\pi} 1 - cos(2x) \mathrm{d}t}
$$
取 $1 - cos(2x)$ 的反導數準備結束積分。
$$
\begin{align}
& V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{4\pi} (x - \frac{1}{2}sin(2x))\mid_{0}^{\pi}} \nonumber \\
& V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{4\pi} (\pi - \frac{1}{2}sin(2\pi)) - (0 - \frac{1}{2}sin(0))} \nonumber \\
& V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{4\pi} (\pi - \frac{1}{2}sin(2\pi)) - (0 - 0)} \nonumber \\
\end{align}
$$
當中 $sin(2\pi) = 0$ 直接拿掉
$$
\begin{align}
& V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{4\pi} (\pi - 0)} \nonumber \\
& V_{rms} = \sqrt{\frac{(V_{m}^2)(\pi)}{4\pi}} \nonumber \\
& V_{rms} = \sqrt{\frac{(V_{m}^2)}{4}} \nonumber \\
& V_{rms} = \frac{\sqrt{V_{m}^2}}{\sqrt{4}} \nonumber \\
& V_{rms} = \frac{V_{m}}{2} \nonumber \\
\end{align}
$$
半波整流的有效值，是最大值（峰值）的一半。
全波整流
在積分那邊，取個雙倍而已。
$$
\begin{align}
& V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{2\pi} 2\int_{0}^{\pi} v(t)^2 \mathrm{d}t} \nonumber \\
& V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} (V_{m}sin(\omega \cdot t+\theta))^2 \mathrm{d}t} \nonumber \\
& V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} (V_{m}sin(t))^2 \mathrm{d}t} \nonumber \\
& V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{\pi}\int_{0}^{\pi} sin(t)^2 \mathrm{d}t} \nonumber \\
& V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}(1 - cos(2x)) \mathrm{d}t} \nonumber \\
& V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{2\pi}\int_{0}^{\pi} 1 - cos(2x) \mathrm{d}t} \nonumber \\
& V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{2\pi} (x - \frac{1}{2}sin(2x))\mid_{0}^{\pi}} \nonumber \\
& V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{2\pi} (\pi - \frac{1}{2}sin(2\pi)) - (0 - \frac{1}{2}sin(0))} \nonumber \\
& V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{2\pi} (\pi - \frac{1}{2}sin(2\pi)) - (0 - 0)} \nonumber \\
& V_{rms} = \sqrt{\frac{V_{m}^2}{2\pi} (\pi - 0)} \nonumber \\
& V_{rms} = \sqrt{\frac{(V_{m}^2)(\pi)}{2\pi}} \nonumber \\
& V_{rms} = \sqrt{\frac{(V_{m}^2)}{2}} \nonumber \\
& V_{rms} = \frac{\sqrt{V_{m}^2}}{\sqrt{2}} \nonumber \\
& V_{rms} = \frac{V_{m}}{\sqrt{2}} \nonumber \\
\end{align}
$$